29. Juni 2016

Raum Logik

Ein Beitrag von Dilara Celepci und Lukas Herrmann

Überraschung! Zwei neue Teilnehmer kommen heute in unseren Logik-Raum. Der Eine kommt aus dem Iran und ist erst 15 Jahre alt; wir erfahren später, dass er über den Zeitungsartikel auf unser Projekt aufmerksam geworden ist. Kein Wunder, dass er kommt, denn Mathe scheint seine Leidenschaft zu sein. Der Andere ist um einiges Älter und kommt aus Afghanistan, er will seine Mathematik-Kenntnisse auffrischen, um seine Ausbildung hier in Deutschland erfolgreich abschließen zu können.

In unserem Logikraum bereiten wir drei Tische vor. Einen Tisch zur Aussagenlogik mit Aufgaben zu Wahrheitstafeln, einen für die Mengenlehre und einen weiteren Tisch für Teilnehmer*innen, die sich mit abstrakten Logik-Aufgaben beschäftigen möchten. Unser 15-jähriger Teilnehmer setzt sich zunächst an den Tisch für die Mengenlehre, während der Andere sich der Aussagenlogik zuwendet.  Für den Tisch „Mengenlehre“ haben wir einen spielerisch-anschaulichen Start vorbereitet. Wir wollen konkret damit arbeiten, was eine Menge ist, was es heißt, Durchschnitte, Vereinigungen, Teilmengen oder Komplemente von Mengen zu bilden. Dazu haben wir Mengen von Nudeln, von roten und von runden Gegenständen zusammengetragen, die von Seilen einkreist sind. Wir beginnen also abzuklären, wie viel der 15-jährige Junge von den Begriffen schon kennt. Als er sagt, er wolle nun „richtige“ Mathematik machen, ist uns klar, dass die ersten spielerischen Überlegungen ihm keine große Anstrengung bereiten und er Herausforderungen sucht. So gehen wir zügig grundlegende Begriffe durch, die er sich mit Übersetzung notiert: Vereinigung, Durchschnitt, Teilmenge, Komplement etc., um dann einfachere bis abstrakte Aufgaben zu bearbeiten. Er löst sie ohne Weiteres. Danach geht es um die De Morganschen Regeln, aber noch immer scheint er an der Ernsthaftigkeit der Thematik zu zweifeln. So zeigt er auf seinem Handy Fotos von seinem Mathematikbuch aus seiner Schulzeit, um zu zeigen, was er schon kennt. Nach zwei weiteren spontanen Aufgabenstellungen schicken wir ihn weiter, zum anspruchsvollsten Tisch in unserem Logikraum, wo grundlegende Beweise bearbeitet werden.

Wir haben vorher übrigens noch ein alternatives Einstiegsspiel für unseren Mengenlehre-Tisch vorbereitet, der aber erst in der darauffolgenden Woche zum Einsatz kommt. Es handelt sich bei diesem Spiel um ein „Rate“-Spiel, zumindest fassen es unsere Teilnehmer*innen anfangs so auf. Von den 16 ausliegenden Karten, gekennzeichnet mit Dreiecken, Quadraten oder Kreisen in rot, blau oder grau; schraffiert, gepunktet oder leer, sucht man sich eine aus, die die Teilnehmer*innen dann durch Ja/Nein-Fragen herausfinden sollen. Ziel ist es, möglichst wenige Fragen zu stellen. Das heißt, es wird nach einer systematischen Taktik gesucht, effektiv ans Ziel zu kommen. Den Teilnehmer*innen wird nach einer Zeit klar, dass man tatsächlich kluge Fragen stellen kann, nämlich solche, bei denen es für die weitere Auswahl (Anzahl der in Frage kommenden Karten) egal ist, ob die Antwort Ja oder Nein lautet. Am Ende sind die Teilnehmer von der Taktik überzeugt und wenden diese tatsächlich an.

Der Tisch zur Aussagenlogik hat ebenfalls einen spielerischen Eingang bereit. Es wurden acht Karten vorbereitet, die auf der Vorder- und Rückseite jeweils mit einem Buchstaben oder einer Zahl beschriftet wurden. Es geht in diesem Spiel darum, Aussagen auf ihre Wahrhaftigkeit zu überprüfen.  Man formuliert eine Aussage, z.B. hinter jeder 6 steht ein C, und der Gegenüber muss überprüfen, ob diese Aussage wahr oder falsch ist, indem er so wenige Karten wie möglich umdreht, um dann mit Sicherheit sagen zu können, ob die Aussage nun stimmt oder nicht. Den Teilnehmern, die sich bisher kaum oder gar nicht mit der Aussagenlogik beschäftigt haben, ist am Anfang nicht sofort klar, dass die Rückrichtung bei einer Implikation nicht gilt. Die oben erwähnte Aussage besagt, dass hinter jeder 6 ein C steht, sie besagt aber nicht, dass hinter jedem C auch eine 6 stehen muss. Hinter einem C kann auch eine andere Zahl stehen, z.B. 4 oder 3, und trotzdem stimmt diese Aussage. Um diese Aussage zu überprüfen, hätte man lediglich die Karte mit der Zahl 6 und die Karten mit den Buchstaben A und B umdrehen müssen. Diese Schwierigkeit in diesem Spiel beschäftigt die Teilnehmer*innen viel länger als gedacht. Sie lassen sich dennoch nicht davon abbringen, sondern werden dadurch sogar noch mehr angespornt. Ihr Spaß, den sie dabei haben, ist ersichtlich.

Dieses Spiel dient für uns als ein geeigneter Übergang zu den Wahrheitstafeln. Denn nachdem die formulierten Aussagen auf ihre Richtigkeit spielerisch überprüft worden sind, können wir uns ohne Probleme den Symbolen der Aussagenlogik widmen, um später Aufgaben zu Wahrheitstafeln problemlos bewältigen zu können. Da wir zu jedem einzelnen Symbol einfache Beispiel-Sätze formuliert haben, können die Teilnehmer*innen die Bedeutungen der Symbole sofort verstehen. Da aber die Vermittlung von Logik, aufgrund der Sprachbarriere sehr davon abhängt, wie man seine Aussagen formuliert bzw. welche Deutschkenntnisse die Teilnehmer*innen besitzen, ist es manchmal notwendig auf andere Methoden zurückzugreifen. Beispielsweise wechselt man zwischen zwei Sprachen hin und her.

Wie schlau und motiviert einige dieser Menschen sind, die zu uns kommen - das fasziniert uns jedes Mal aufs Neue. Viele von ihnen sind noch dabei, die deutsche Sprache zu lernen und haben deshalb manchmal Schwierigkeiten beim Verständnis. Sie lassen es sich aber dennoch nicht nehmen, an diesem Kurs teilzunehmen, was für enorme Zielstrebigkeit spricht. Ihre Freude daran motiviert uns auch, sodass die Zeit wie im Flug vergeht.

28. Juni 2016

Woche zehn - neue Räume!

In der letzten Runde lauten die Themen Landkarten, Diagramme und Strahlensatz. Für Letzteren verwenden wir Sonnenstrahlen - wenn die Sonne sich nicht gerade versteckt! Dann muss die Taschenlampe herhalten...


Trotz Ramadan haben wir wieder 30 Teilnehmer*innen.


27. Juni 2016

Raum Lineare Gleichungssysteme

Ein Beitrag von Lea Tanzmann

Wie gewohnt mussten die Teilnehmer*innen auch beim Eingangsexperiment im Raum „Lineare Gleichungssysteme“ wieder selber Hand anlegen. Hier war Feingefühl gefragt, denn es ging darum, eine Waage mit unterschiedlich schweren Päckchen ins Gleichgewicht zu bringen. Von vornherein galt: Päckchen mit derselben Farbe sind gleich schwer. Die gefundenen Gleichungen durften die Teilnehmer*innen dann selber mit farbiger Kreide an die Tafel schreiben. Beim Suchen der Gleichungen waren die Teilnehmer*innen sehr ehrgeizig und experimentierfreudig. Dabei waren die unterschiedlichsten Herangehensweisen zu beobachten: Die einen hatten Freude daran, so lange links und rechts Gewichte auf die Waagschalen zu legen, bis die Waage im Gleichgewicht war, andere hatten schon nach kurzer Zeit ein System hinter den Gleichungen entdeckt und somit gezielter für weitere Gleichungen gesorgt. Wenn schließlich genügend Gleichungen gefunden waren, wurde das Gewicht eines bestimmten Päckchens vorgegeben und es war Aufgabe der Teilnehmer*innen, damit und mit Hilfe der gefundenen Gleichungen die restlichen Gewichte zu berechnen.


Dieser letzte Schritt ermöglichte es uns recht gut, das Vorwissen der Teilnehmer*innen einzuschätzen. Wer Schwierigkeiten beim Errechnen der Gewichte hatte, hatte am ersten Tisch die Möglichkeit, einfache Äquivalenzumformungen zur Bestimmung von einer Variablen zu üben. Außerdem gab es hier Aufgabenblätter zum Üben von Ausklammern und Ausmultiplizieren von Termen, die Variablen enthalten.

Wer bereits mit dem Lösen einfacher Gleichungen vertraut war, konnte sich am zweiten Tisch mit den verschiedenen Lösungsmöglichkeiten für Lineare Gleichungssysteme mit zwei Variablen beschäftigen, dem Additions-, Gleichsetzungs- und Einsetzungsverfahren. Dafür stand den Teilnehmer*innen jeweils ein Blatt mit einem ausführlichen Beispiel und passenden Aufgaben zu Verfügung, sowie eine Sammlung von Aufgaben, bei denen das Lösungsverfahren frei wählbar war. Auch gab es hier Gleichungssysteme mit einer, keiner oder unendlich vielen Lösungen. Beim Lösen dieser Aufgaben waren die Teilnehmer*innen verbissen dabei und ließen sich auch von negativen Zahlen und Brüchen nicht abschrecken. Allerdings wurde beim Rechnen nur selten Wert auf die „ordnungsgemäße“ Darstellung gelegt, aber solange die Teilnehmer*innen dafür am Ball waren, haben wir da gerne auch ein oder zwei Augen zugedrückt.


Waren auch diese zum Teil doch recht rechenintensiven Aufgaben nicht herausfordernd genug, ging es für die Teilnehmer*innen am dritten Tisch an’s Rechnen mit Matrizen, also insbesondere das Lösen von Gleichungssystemen mit dem Gauß-Algorithmus. Dieser Tisch wurde zwar nur selten besucht, aber falls doch, so hatten die Teilnehmer*innen Spaß daran, diese „neue“ Art zu Rechnen kennenzulernen.

Uns hat es wieder sehr viel Spaß gemacht, mit den Teilnehmer*innen zusammen ein neues Thema zu erarbeiten. Schließlich profitieren auch wir von der Zusammenarbeit und lernen zum Beispiel, auf Arabisch zu zählen.

17. Juni 2016

Raum Computercodes

Ein Beitrag von Andreas Kreuser

Liest man den Titel der Veranstaltung „Mathematik! Studierende unterrichten Flüchtlinge“, drängt sich einem zunächst die Frage auf, warum denn letztere auch noch mit Mathematik malträtiert werden müssen. Erstaunlicher Weise kann Mathematik aber durchaus auch Begeisterung und Interesse wecken! Da ich davon manchmal selbst nicht so überzeugt bin, habe ich das Eingangsspiel für den Raum Computercodes zunächst mit meinen verkaterten, mathe-phobischen Freunden im Biergarten ausprobiert. Nachdem selbst diese total fasziniert waren, wusste ich, dass der Einstieg funktioniert!

Hierfür waren auf einem Kärtchen 15 verschieden Symbole abgebildet. Die Teilnehmer*innen wurden dazu aufgefordert, sich davon eines auszusuchen ohne es jemandem mitzuteilen. Anschließend wurden vier weitere Kärtchen mit jeweils einer Teilmenge der Symbole ausgelegt. Sobald die Teilnehmer*innen auf alle Kärtchen gezeigt hatten, auf denen ihr Symbol abgebildet war, wurde ihnen direkt gesagt, welches dieses war.

Die Schnelle der Antwort ließ darauf schließen, dass dazu nicht nur rein kombinatorische Argumente benutzt wurden, sondern auch ein Trick dahinter steckte. Der Trick heißt Binärsystem: Jedem Symbol wurde eine Zahl zwischen 1 und 15 zugeordnet und im Kopf der Eingeweihten ins Binärsystem übersetzt (z.B. 13 = 1011). Die scheinbar willkürlich konstruierten Kärtchen entsprachen den Stellenwerten im Binärsystem. So war das 13te Symbol auf der ersten, zweiten und vierten Karte abgebildet (Das Spiel ist unter „Binärtrick“ oder „Magische Zahlenkarten“ einfach nachzugooglen).


Der „Kartentrick“ ist somit eine perfekte Überleitung zum Thema Binärsystem, das System, dass nur mit zwei Ziffern auskommt und auf denen die Arbeitsweise von Computern beruht. Fließend ging die Auflösung des Tricks in alternative Darstellungssysteme von Zahlen über. So wurde beispielsweise auch im Hexadezimalsystem gerechnet und so Vor- und Nachteile unseres Rechensystems besprochen. (Warum kann man eigentlich so gut mit den Fingern rechnen und warum wäre es mathematisch unpraktisch, einen zu verlieren?) Übrigens findet man auch abgefahrene Rechensysteme bei den Prüfziffern von ISBN-Nummern.

Eine andere Richtung, in die man ausgehend von dem Eingangsbeispiel gehen konnte, war die Frage, ob sich nicht nur Symbole sondern auch Buchstaben, Wörter und Nachrichten in Zahlen ausdrücken lassen. Und noch viel entscheidender: Gibt es eine Möglichkeit, mit der ich Nachrichten verschlüsseln kann, so dass Sie außer dem gewünschten Empfänger niemand anderes lesen kann? Schon die alten Griechen haben sich mit dem Gebiet der Kryptologie beschäftigt und Chiffren wie das Tausch- und Verschiebe Chiffre oder die Skytala-Verschlüsselung entwickelt. Etwas abgefahrener ist dann schon die Vigenère-Chiffre, die nicht nur auf der monokausalen Zuordnung von Zahl und Buchstabe beruht. Bei dieser Art der Verschlüsselung kann es passieren, dass einem Buchstaben in verschiedenen Worten verschieden Buchstaben zugeordnet werden. Entsprechend komplizierter ist dann aber auch die Entschlüsselung ohne den passenden Schlüssel. Ähnlich diffus aber auch die Vermittlung dieses Prinzips an die Teilnehmer*innen…


Um auch anderem mathematischen Vorwissen gerecht zu werden (#UmgangmitHeterogenität) gab es auch ein Arbeitsblatt zum Thema Grundrechnen. Hierbei zeigte sich, dass das Projekt für einige, regelmäßig teilnehmende Geflüchtete auch konkret eine Möglichkeit darstellt, sich intensiv mit grundlegender Mathematik auseinanderzusetzen. Vor allem in der Schule und in der Ausbildung ist die oft relevant! Für mich persönlich war diese Perspektive neu. In meinem Verständnis fungierte „Mathematik! Studierende unterrichten Flüchtlinge“ eher als spaßige Freizeitbeschäftigung, analog zu einem Fußballspiel (nur dass Mathematiker halt Mathematik machen und kein Fußball spielen können). Umso bereichernder war die Erfahrung Geflüchteten auch mal konkret, in ihrem Alltag helfen zu können.


Insgesamt lässt sich sagen, dass der Raum Computercodes interessante mathematische Perspektiven eröffnet hat: Wie funktioniert unsere Auffassung von Zahlen? Gibt es auch Alternativen? Wo ist Mathematik anwendbar...?

Trotz abnehmender Teilnehmendenzahlen  bleibt das Projekt eine bereichernde Erfahrung. Anstelle des „Wie kann ich Geflüchteten Helfen“ ist ein „Wir erarbeiten uns gemeinsam eine Inhalt“ geworden.  Das Aufeinandertreffen von Kulturen, Lebensgeschichten und individuellen Charakteristiken findet im Rahmen der gemeinsamen Beschäftigung mit einer (zugegebenermaßen etwas ungewöhnlichen) Thematik entspannt und unproblematisch statt. Beziehungen zwischen Fremden enthalten so kein künstliches, aufgezwungenes Element, sondern ergeben sich intrinsisch, aus der  Situation heraus.

Im Irak wird übrigens der „Punkt“ zwischen zwei Zahlen nicht als Symbol für die Multiplikation, sondern für das Kreuzprodukt zweier Vektoren verwendet.

15. Juni 2016

Raum Funktionen

Ein Beitrag von Alicia Bitzer und Conny Glaser

Im sogenannten „Funktionenraum“ war das Eingangsexperiment dieses Mal physikalischer Natur. Beim „Freien Fall“ konnten die Teilnehmer*innen einen Messgegenstand durch einen Lichtschranke fallen lassen. Dies wurde dann mithilfe von CASSY, einem Messwerterfassungsystem, ausgewertet. Das System zeichnet die verschiedenen Messpunkte zum jeweiligen Zeitpunkt als Datenpunkte in ein Koordinatensystem, die dann zu einem Funktionsgraph verbunden werden können. Schnell entwickelte sich hier ein Wettbewerb, wer am nächsten an die Erdbeschleunigung g=9,81m/s² herankommen konnte. Nach zahlreichen Messversuchen, schaffte es tatsächlich ein Teilnehmer auf g=9,83m/s². Das spaßige Experiment eignete sich  perfekt als Einstieg für unsere Tische.



Diejenigen, die mit dem Koordinatensystem zuvor noch nicht in Berührung gekommen waren, konnten an einem überdimensionalen Koordinatensystem üben, Punkte (Schokomünzen) einzuzeichnen und deren Koordinaten abzulesen. Im Anschluss konnte das Gelernte anhand verschiedener Übungsblätter vertieft und erweitert werden. Dabei wurden unter anderem geometrische Formen gespiegelt und die Richtigkeit mit dem Handy überprüft. Auch Schnitt- und Mittelpunkte wurden berechnet und anhand des Koordinatensystems veranschaulicht.

Die Teilnehmer*innen, die bereits über mehr Vorwissen verfügten, hatten die Möglichkeit, verschiedene Funktionen näher zu behandeln. Für lineare Funktionen wurden mithilfe einer Rechenvorschrift Punkte in ein Koordinatensystem eingezeichnet und daraus eine Funktionsgleichung errechnet. Normalparabeln wurden gestaucht, verschoben und umgedreht, um zahlreiche neue Funktionen zu gewinnen.


Für Teilnehmer*innen die mit dem Thema vertrauter waren, stand ein Schwarzer-Peter-Spiel zur Verfügung, bei der Funktionen den dazu passenden Graphen zugeordnet werden mussten. Zudem gab es die Möglichkeit, sich mit Ableitungen zu beschäftigen und Differentiationsregeln kennen zu lernen oder auch eine Funktionsuntersuchung durchzuführen. Allerdings wurde dieser Tisch nur sehr wenig genutzt.


Leider waren aufgrund der Pfingstferien an einem Termin nur sehr wenige Teilnehmer*innen da, dennoch hat es uns großen Spaß gemacht, in diesem Raum zu arbeiten. Ein Highlight war natürlich das sehr anschauliche Experiment zum freien Fall, das sogar Teilnehmer*innen aus anderen Räumen für einen kurzen Besuch zu uns gelockt hat.

14. Juni 2016

Raum Satz des Pythagoras

Ein Beitrag von Sandra Mattes

Zum Einstieg in dieses Thema hatten wir eine kleine Bastelarbeit mit Quadraten vorbereitet. Aus ihnen sollten Dreiecke herausgeschnitten werden und durch Umlegen dieser Dreiecke und Formung von Quadraten konnte man den Satz des Pythagoras ableiten. Hier ergaben sich zu Anfang leider einige Probleme. Wir mussten feststellen, dass dieses Experiment ohne Vorkenntnisse nicht unbedingt nachvollziehbar ist und die Teilnehmer*innen hatten Schwierigkeiten, den Zweck der Übung zu erkennen, wodurch auch die Motivation ein wenig litt.

Anschließend ging es aber trotzdem voller Elan an den verschiedenen Stationen weiter. An einem der Tische wurden geometrische Grundkenntnisse vermittelt und vertieft. Dabei hatten die Teilnehmer*innen verschiedene geometrische Figuren gegeben und sollten die Seitenlängen und Höhen der Figuren abmessen, um so jeweils Umfang und Flächeninhalt zu berechnen. Später wurden auch aus gegebenen Maßen fehlende Seiten berechnet und konstruiert. Zur späteren Anwendung des Satzes des Pythagoras gab es an diesem Tisch außerdem Aufgaben zum Quadrieren und Wurzelziehen.

Die beiden anderen Stationen kümmerten sich um kompliziertere geometrische Figuren und Körper. Hier konnten sich Teilnehmer*innen einfinden, die schon mehr Vorwissen mitbrachten und sich so auch an schwierigere Probleme heranwagten. Es handelte sich dabei mitunter um Zeichnungen und Problemstellungen aus der Realität, die nicht mehr exakten geometrischen Figuren entsprachen, oder um Textaufgaben, die ausgewertet werden sollten. Um weiter in die Geometrie vorzudringen, wurden hier auch die Strahlensätze eingeführt.


Bei allen Aufgaben waren die Teilnehmer*innen hochmotiviert am Werk und benötigten nur kleine Hinweise, um selbst auf die passenden Formeln für die verschiedenen Flächeninhalte oder ähnliches zu kommen. Oft wurde auch mit uns über die richtige Lösung diskutiert oder eine gewisse Fragestellung von einem nicht erwarteten Blickpunkt aus betrachtet, sodass ein reger Austausch entstand.

Durch die geringe Teilnehmerzahl vor allem in den letzten beiden Wochen kamen leider nicht alle vorbereiteten Aufgaben zum Einsatz, sodass wir den Erfolg vor allem der beiden letztgenannten Tische nicht richtig bewerten können. Trotzdem machte es auch in diesem Raum wieder großen Spaß, mit den Teilnehmer*innen zu arbeiten. Die Atmosphäre war immer sehr entspannt und die Wissensvermittlung fand in beide Richtungen statt, sodass am Ende alle etwas davon hatten.

7. Juni 2016

Woche sieben - neue Räume!

Lineare Gleichungssysteme, Logik und Mengenlehre sowie exponentielles Wachstum und exponentieller Zerfall. Bunte Nudeln, Reis auf einem Schachbrett, eine Waage, viele Würfel. Was gehört zusammen? Die Auflösung gibt es in den nächsten Wochen, bei der Beschreibung der Räume.


Der Artikel im Schwäbischen Tagblatt hat uns neue Teilnehmer beschert :-) allerdings leider nicht genügend, um den Effekt des Ramadan auszugleichen...